§2.4.1 讯变电磁场的失势和标势
1. 用势描述电磁场 为简单起见,我们只讨论真空中的电磁场,麦克斯韦方程组为
(1.1)
在恒定场中, 由B的无源性引入矢势A,使
(1.2)
在一般情况下,B仍然保持无源性,所以B与矢势A的关系(1.2)式普遍成立的。矢势A的物理意义是:在任一时刻,A沿任意闭合回路的线积分等于该时可通过回路的磁通量。
在一般的变化情况中,电场E的特性与静电场不同。电场E一方面受到电荷的激发,另一方面也受到变化磁场的激发,后者所激发的电场是有旋的。因此在一般情况,电场是有源和有旋的场,它不可能单独用一个标势来描述。在变化情况下电场与磁场发生直接联系,因而电场的表示式必然包含矢势A在内。把(1.2)式代入(1.1)第一式得
该式表示矢量E + ∂A/∂t是无旋场,因此它可以用标势φ描述,
因此,一般情况下电场的表示式为
(1.3)
(1.2)和(1.3)式把电磁场用矢势和标势表示出来。注意现在电场E不再是保守力场,一般不存在势能的概念,标势φ失去作为电场中势能的意义。因此,在高频系统中,电压的概念也失去确切的意义。在变化场中,磁场和电场是相互作用的整体,必须把矢势和标势作为一个整体来描述电磁场。
2. 规范变换和规范不变性 用矢势A和标势φ描述电磁场不是唯一的,即给定的E和B并不对应唯一的A和φ 。这是因为对矢势A可以加上一个任意函数的梯度,结果不影响B,而这加在A上的梯度部分在(1.3)式中有可以从▽φ中除去,结果亦不影响E。设ψ为任意时空函数,作变换
(1.4)
有
即(A' , φ ')与(A , φ )描述同一电磁场。变换(1.4)式称为势的规范变换。每一组(A , φ )称为一种规范。在经典电动力学中,由于表示电磁场可观属性的可测量的物理量为E和B,而不同规范有对应着同一的E和B ,因此,如果用矢势来描述电磁场,客观规律应该和势的特殊的规范选择无关。当时作规范变换时,所有物理量核物理规律应该保持不变,这种不变性称为规范不变性。
在量子力学中,E和B不能完全描述电磁场第所有物理效应。例如在A-B效应中,在非单连通区域内绕闭合路径一轴的电子波函数相位差,就由回路积分
描述,它不能用B的局域作用来描述。但是,此回路积分仍然是规范不变的。因为对A作规范变换(1.4)后
因此,即使在量子力学中,所有可测量的物理量仍然保持规范不变性。
在经典电动力学中 ,势A和φ的引入是作为描述电磁场的一种方法,规范不变性是对这种描述方法所加的要求。在进代物理中,规范变换是由量子力学的基本原理引入的,规范不便性是一条重要的物理原理。在量子力学中A和φ的地位也比在经典电动力学中重要得多。因此我们要熟悉用势描述电磁场的方法。
现在已经清楚,不仅在电磁相互作用中,而且在其他基本相互作用,包括弱相互作用和强相互作用中,规范不变性是决定相互作用形式的一条基本原理。传递这些相互作用的场称为规范场。电磁场是人们最熟知的一种规范场。
从数学上来说,规范变换自由度的存在是由于在势的定义式(1.2)和(1.3)中,只给出A的旋度,而没有给出A的散度。我们知道仅由矢场量的旋度是不足以确定这矢量场的。为了确定A,还必须给定它的散度。电磁场E和B本身对A的散度没有任何限制。因此,作为确定势的辅助条件,我们可以取▽ ∙ A为任意的值。每一种选择就对应一种规范。采用适当的辅助条件可以使基本方程和计算简化,而且物理意义也较明显。从计算方便考虑,在不同问题中可以采用不同的辅助条件。应用最广的是以下两种规范条件:
(1)库仑规范 辅助条件为
(1.5)
在这规范中A为无源场,因而电场表示式
中第二项 −∂A/∂t是无源场(横场),而第一项 −▽φ为无旋场(纵场)。这规范的特点是E的纵场部分完全由φ描述。而横场部分由A描述,−∂A/∂t项不含纵场部分。−▽φ项对应于库仑场,−∂A/∂t项对应于感应电场。这种划分对于讨论某些问题是方便的。
(2)洛伦兹规范 辅助条件为
(1.6)
由下面的推导结果看出,采用这种规范时,势的基本方程化为特别简单的对称形式,其物理意义也特别明显。因此,这种规范在基本理论研究以及解决实际辐射问题中是特别方便的。
3. 达朗贝尔(d’AIembert)方程 现在由麦克斯韦方程组推导势A和φ所满足的基本方程。把(1.2)和(1.3)式代入(1.1)第二和第三式得
应用μ0ε0 = 1/c2并将两式加以整理后,得
(1.7)
这是适用于一般规范的方程组。若采用库仑规范,由(1.5)式得
(1.8)
这种规范的特点是标势所满足的方程与静电场情形相同,其解是库仑势。解出φ后代入第一式可解出A,因而可以确定辐射电磁场。
若采用洛伦兹规范,由(1.6)和(1.7)式得
(1.9)
用这种规范时,的方程具有相同形式,其意义也特别明显。方程(1.9)称为达郎贝尔方程,它是非齐次的波动方程,其自由项为电流密度和电荷密度.由(1.9)式,电荷产生标势波动,电流产生矢势波动.离开电荷电流分布区域后,矢势和标势都以波动形式在空间中传播,由它们导出的电磁场E和B也以波动形式在空间中传播.当然E和B的波动性质是和规范无关的.
在洛伦兹规范下,方程(1.9)式连同辅助条件[洛伦兹条件(1.6)式]是用势表述的电动力学基本方程组.求得势的解后,电磁场E和B由(1.2)和(1.3)式给出.
例 求平面电磁波的势
解 平面电磁波在没有电荷电流分布的空间中传播,因而势的方程(1.9)变为波动方程,其平面波解为
(1.10)
对加上洛伦兹条件(1.6)式得
(1.11)
因此,只要给定矢量A ,就可以确定平面电磁波.场强E和B为
(1.12)
(1.13)
和第四章§1结果一致。注意由(1.12)和(1.13)式,平面波电磁场只依赖于矢势A的横向分量,对A0加上任意纵向部分αk(同时对φ0加上αω , α为任意常数)都不因响电磁场值。这说明在平面波情形,即加上洛伦兹条件后,A和φ仍然不是唯一确定的,还剩下一些规范变换自由度。最简单的选择是取A只有横向部分,k ∙A = 0,因而由(1.11)式φ = 0。用这规范时有
(1.14)
如果我们采用库仑规范,势的方程(1.8)式在自由空间中变为
当全空间没有电荷分布时,库仑场的标势φ = 0。把φ = 0代入第一方程得A的波动方程,其平面波解为
库仑条件▽ ∙ A = 0保证A只有横向分量。由(1.2)和(1.3)式得
与(1.14)式一致。
由这例看出库仑规范的优点。它的标矢 ·描述库仑作用,可直接由电荷分布·求出。它的标矢只有横向分量,刚好足够描述辐射电磁波的两种独立偏振。而在采用洛伦兹规范时,A的纵向部分和标矢·的选择还可以有任意性,即存在多余的自由度。虽然这样,洛伦兹规范的最大优点是它使矢势和标势的方程具有对称性,在相对论中显示出协变性,因而对于理论探讨和实际计算都提供很大的方便。所以本书以后都采用洛伦兹规范。
§2.4.2 推迟势
现在我们求达朗贝尔方程的解。标势φ的达朗贝尔方程为
(2.1)
式中ρ =ρ(x,t)是空间中的电荷密度。(2.1)式是线性方程,反映电磁场的叠加性。由于场的叠加性,可以显考虑某一体元内的变化电荷所激发的势,然后对电荷分布区域积分,即得总的标势。
设原点处有一假想变化电荷Q(t),其电荷密度为ρ(x,t)= Q(t)δ(x)。这电荷辐射的势的达朗贝尔方程为
(2.2)
由球对称性,φ只依赖于r,t,而不依赖于角变量。(2.2)式用球坐标表为
(2.3)
除原点之外,φ满足波动方程
(2.4)
(2.4)式的解是球面波。考虑到当r增大时势减弱,所以作如下代换
(2.5)
把(2.5)式代入(2.4)式,得u的方程
(2.6)
这方程形式上是一维空间的波动方程,其通解为
(2.7)
式中f和g是两个任意函数。由(2.5)式可得除原点以外φ的解
(2.8)
这解的第一项代表向外发射的球面波,第二项代表向内收敛的球面波。函数f和g的具体形式应由物理条件定出。当我们研究辐射问题时,电磁场是由原点处的电荷发出的,它必然是向外发射的波。因此在辐射问题中应取g = 0而函数f的形式应由原点处的电荷变化形式决定。在静电情形,我们知道电荷Q激发的电势为
(静电场)
推广到变化场情形,由(2.8)式的形式可以推想(2.2)式的解为
(2.9)
下面我们证明(2.9)式是(2.2)式的解。当r ≠ 0时,(2.9)式满足波动方程(2.4)。r = 0点是(2.9)式的奇点,因此
(2.10)
只可能在r = 0点上不等于零,在该点上(2.10)式可能有·函数形式的奇异性。为了研究在r = 0点上(2.10)式的奇异性质,我们作一半径为η的小球包围原点,把(2.10)式在小球内积分,
当η→ 0时,积分的第二项 ~η2而趋于零,而在第一项中,只有对分母因子求二阶导数时才得到不为零的积分,因此可令Q(t − r/c)→Q(t),这项变为
[见第二章(5.10)式上面的积分公式。]因此,由δ函数的定义得
(2.11)
因此(2.9)式为方程(2.2)的解。
如果电荷不在原点上,而是在x '点上,令r为x '点到场点x的距离,有
由场的叠加性,对于一般变化电荷分布ρ(x',t),它所激发的标势为
(2.12)
由于矢势A所满足的方程形式上与标势的达朗贝尔方程一致,所以一般变化电流分布J(x',t)所激发的矢势为
(2.13)
可以验证A和φ满足洛伦兹条件。证明如下:
设t '=t − r/c,对r的函数而言,有▽= −▽ ' ,因此,
因而
由电荷守恒定律
即得A和φ满足洛伦兹条件(1.6)式。
(2.12)和(2.13)式给出空间x点在时刻t的势,这势是由电荷电流分布激发的。对势φ(x,t)有贡献的不是同一时刻t的电荷密度值,而是在较早时刻t − r/c的电荷密度值。如图5-1,设M1距场点为r1,则在M1点上的电荷在时刻t − r1/c的值对φ(x,t)有贡献,而在M2点上的电荷则在另一时刻t − r2/c对φ(x,t)有贡献。因此我们在x点t时刻测量到的电磁场是由电荷电流分布在不同时刻激发的。
(2.12)和(2.13)式的重要意义在于它反映了电磁作用具有一定的传播速度.空间某点x在某时刻t的场值不是依赖于同一时刻的电荷电流分布,而是决定于较早时刻t − r/c的电荷电流分布、反过来说,电荷产生的物理作用不能够立刻传至场点,而是在较晚的时刻才传到场点,所推迟的时间r/c正是电磁作用从源点x '传至场点x所许的时间,c是电磁作用的传播速度.因此,解(2.12)和(2.13)式称为推迟势.
除了电磁作用之外,其它一切作用都通过物质以有限速度传播.事物总是通过物质自身的运动发展而互相联系着的,不存在瞬时的超距作用.在下一章中我们将看到这点正是相对论时空观的基础.
由(2.12)和(2.13)式,当ρ和J给定后,就可以算出势,再由
就可求得空间任意点的电磁场强度。当然,电磁场本身反过来亦对电荷电流发生一定的反作用,因而激发区内的电荷电流分布是不能任意规定的。以后我们研究天线辐射问题时再具体讨论这一点。
1、若把Maxwell方程组的所有矢量都分解为无旋的(纵场)和无散的(横场)两部分,写出E和B的着两部分在真空中所满足的方程式,并证明电场的无旋部分对应于库仑场。
9、利用电荷守恒定律,验证A和φ的推迟势满足洛伦兹条件。
补充题10:根据麦可斯韦方程组,推导满足洛伦兹规范的达郎贝尔方程。