第三章 狭义相对论(2-3)

§3.2  相对论的时空理论

1. 相对论的时空结构  上一节中我们引入了两事件的间隔的概念。为简单起见,以第一事件为空时原点(0000),设第二事件的空时坐标为(xyzt)。这两事件的间隔定义为
                                  
3.1
式中r = (x2 + y2 + z2)1/2为两事件的空间距离。

两事件的间隔可以取任何数值。我们区别三种情况:

1)若两事件可以用光波联系,有r = ct,因而s2 = 0

2)若两事件可以用低于光速的作用来联系,有r < ct,因而s2 > 0

3)若两事件的空间距离超过光速在时间t所能传播的距离,有r > ct,因而s2 < 0

由于从一个惯性系到另一个惯性系的变换中,间隔s2保持不变,因此上述三种间隔的划分是绝对的,不因参考系的改变而改变。

 

 

为了看清楚这种分类的几何意义,我们把三维空间与一维时间统一起来考虑,每一事件用这思维时空的一个点表示。为了能用直观图像表示,我们暂时限于考虑二维空间和一维时间(代表xy平面上的运动)。如图6-5,我们把二维空间(坐标为xy)与一维时间(取时轴坐标为ct)一起构成三维时空,时间用这三为时空的一个点P点在xy面上的投影表示事件发生的地点,P点的垂直坐标表示事件发生的地点,P点的垂直坐标表示事件发生的时刻乘以c

对应于上述三种情况,P点属于三个不同区域:

1)若事件P与事件O的间隔s2 = 0,则r = ct,因而P点在一个以O为定点的锥面上。这个锥面称为光锥。凡在光锥上的点,都可以和O点用光波联系。

2)若事件P与事件O的间隔s2 > 0,则r < ct,因而P点在光锥之内,这类型的间隔称为类事件间隔。

3)若PO的间隔s2 < 0,则r > ctP点在光锥外。P点不可能与O点用光波或低于光速的作用相联系。这类型的间隔称为类空间隔。

间隔的这种划分是绝对的,不因参考系而转变。若对某参考系事件P在事件O的光锥内,当便道另一参考系时,虽然P的空时坐标都改变,但s2不变,因此事件P保持在O的光锥内。同样,若对某参考系PO的光锥外,则对所有参考系事件P都在事件O的光锥外。

类时区域还可在分为两部分。如图6-5,光锥的上下两半只有公共点O,而洛轮兹变换保持时间正向不变,因此光锥的上半部分和下半部分不能互相变换。若事件PO的上半光锥内,则在其他参考系中它保持在上半光锥内。

概括起来,事件P相对与事件O的实空关系可作如下的绝对分类:

1)类光间隔 s2=0

2)类时间隔 s2

a)绝对未来,即PO的上半光锥内;

b)绝对过去,即PO的下半光锥内;

3)类空间隔s2PO绝对异地。

类时间隔和类空间隔是两种截然不同的时空关系,下面分点讨论它们。

2. 因果律和相互作用的最大传播速度  一切事物都是运动发展着的。事物发展有一定因果关系,通过物质运动的联系,作为原因的第一事件导制作为结果的第二事件。例如通过无线电波的传播,发报者就可以影响收报者的行动。这种因果关系是绝对的,不依赖于参考系而转移。时间概念就是从事物发展中抽象出来的,正确的实空观必须反映事物发展的绝对因果性。下面我们分析因果律在相对论时空观中是怎样体现出来的。

根据上一点的讨论,若事件PO上半光锥内(包括锥面),则对任何惯性系P保持在O得上半光锥内,即PO的绝对未来。这中间隔的特点是PO可用光波或底与光速的作用相联系。因此,如果不存在超光速的相互作用,则两事件PO发生因果关系的必要条件是P处于O的光锥内,这样OP的先后次序在个参考系中相同,因而因果关系是绝对的。

由洛伦兹变换式也可以直接证明这点。在参考系Σ上,以(x1t1)代表作为原因的第一事件,(x2t2)代表作为结果的第二事件,由t2 > t1。变换到另一参考系Σ '上,这两事件用(x1't1')和(x2't2')表示,由洛伦兹变换式得
                                       
3.2
若这变换保持因果关系的绝对性,应有t2' > t1',由上式应有条件
                                                 
3.3
| x1 − x2 | = u ( t2 − t1)u代表由OP的作用传播速度,由上式得
                               uυ < c2
但固定于参考系#上的物体同样可以用来传递作用,因而υ也可以看作一种作用传播速度,由上式,若
                          u < c ,  υ < c                       
3.4
则事件的因果关系就保证有绝对意义。根据现有大量实验事实,我们知道振空中的光速c是物质运动的最大速度,也是一切相互作用传播的极限速度。在这前提下,相对论时空观完全符合因果律的要求。

3. 同时相对性  上面研究了类时间隔的性质,现在转道类空间隔。由于类空间隔有r > ct,而相互作用传播速度不超过c,因此具有类空间隔的两事件不可能用任何方式联系,它们之间没有因果联系,其先后次序也就失去绝对意义。用洛伦兹变换式可以直接证明这点。设两事件(x1t1)和(x2t2)的间隔类空,有
                                             
3.5
若在参考系Σ '上观察到
                             t2 > t1                          
3.6
变换到另一参考系上,由洛伦兹变换式得
                                       
3.7
Σ '相对于Σ的速度υ足够大,有(3.5)式总可以有
                            
由(3.7)式即得
                             t2 ' < t1 '                         
3.8
特别是,如果另一参考系Σ " 相对于Σ的速度 −υ 满足下式
  
[
由(3.5)式,这参考系必定存在]则由(3.7)式有
                             t2" = t1"                         
3.9

由(3.7)—(3.9)时可以看出类空间隔的特征。具有类空间隔的两事件,由于不可能发生因果关系,其事件次序的先后或者同时,都没有绝对意义,因不同参考系而不同。

在不同地点同时发生的两事件不可能有因果关系,因此同时概念必然是相对的。由(3.7)式可知,若两事件对Σ同时,即t2 = t1,则一般而言,t2' ≠ t1',即对Σ '不同时(见上节例2)。

由同时相对性,可能产生如何对准两不同地点的时钟的问题。应该指出,在一定参考系内,这问题用经典方法已经可以解决。例如把某地点的一个中缓慢移至另一地点,就可以和该点上的中对准,从而核对两地点的计时。只要钟移动的足够慢,相对论效应就可忽略。因此,在相对论中不产生另外定义同时的问题。当然,在实际测两种,最方便的方法是用光讯号来核对,只要对光传播时间作了修正,就可以核对两地点的时钟。因此,在同一参考系上,相对论的同时概念式和我们通常所值得同时概念一致的。在另一参考系Σ '上,观察者也可以用相同方法来对准个点上的时钟。相对论效应在于,在于参考系中不同地点上对准了的时钟,在另一参考系上观察起来会变为不对准的。这就是同时相对性的意义。

类时间隔的绝对因果性和类空间隔的同时相对性是物质运动时空关系的两个方面,前者是起主导作用的。

4. 运动时钟的延缓  自然界中存在许多物理过程可以作为及时的基准,如分子振动或原子谱线的周期,粒子的衰变寿命等,都是计时的自然基准。现代科学技术都采用自然基础,它们可以一般称为时钟。在不同参考系上可以用同一种物理过程作为计时基准,这样就可以比较不同参考系上的时间。现在的问题是,在不同参考系上观察同一个物理过程,其时间有什么关系?

设某物体内部相继发生两事件(例如分子振动一个周期的始点和终点)。设Σ '为该物体的静止坐标系,在这参考系上观察到两事件发生的时刻为t1't2',其时间间隔Δτ = t2' t1'。由于两事件发生在同一地点x',因此两事件的间隔为
                                       
3.10

在另一参考系Σ上观察,改物体以速度υ运动,因此第一事件发生的地点x1不同于第二事件发生的地点x2。设Σ上观察到两事件的空时坐标为(x1t1)和(x2t2)则两事件的间隔为
                        
3.11
由间隔不变性有
                        
| Δx | /Δt = υ为该物体相对于Σ的运动速度,因此
                                                
3.12
式中Δτ为该物体的静止坐标系测出的时间,称为该物理过程的固有时,而Δt为在另一参考系Σ上测得同一物理过程的时间。在Σ上看到物体以速度υ运动,由(3.12)式,Δt > Δτ,表示运动物体上发生的自然过程比起静止物体的同样过程延缓了。物体运动速度愈大,所观察到的它的内部物理过程进行得愈缓慢。这就是时间延缓效应。这种效应式是空的基本属性引起的,与钟的具体结构无关。

时间延缓效应在高能物理中得到大量实验证明。不稳定粒子(如π介子,μ子等)静止时有一定平均寿命。当他们高速运动时,测得的平均寿命可以比静止时大的多。用π介子和μ子作的实验很好的验证(3.12)式。

带电π介子质量微电子质量的273.126倍,主要衰变为μ子和中微子
                          
静止π介子的平均寿命为(2.06030±.0028×10−8s。实验所用高速直线运动π介子的1/( 1
υ2/c2 )1/2值为2.4,测量到的这种高速运动π介子的平均寿命,与(3.12)式计算值相符。

μ子是一种物理性质和电子相似的粒子,它的质量为电子质量的206.768倍,主要衰变为
                         
其中νμ为型μ中微子,~νe为电子型反中微子。μ子静止时的平均寿命为(2.19703±.00004)×10−6s。实验使μ子在磁场中作高速圆周运动,由动量值算出1/( 1
υ2/c2 )1/2 = 12.14。用(3.12)式算出这种高速运动μ子的平均寿命为26.69×10−6s,而实验值为26.37×10−6s 。因此,实验完全验证了时间延缓公式(3.12),而且证明了时间延缓效应值依赖于速度,而不依赖于加速度。

当局限于匀速运动时,时间延缓效应是相对效应。参考系Σ上看到固定于Σ '上的时钟变慢;同样,参考系Σ '上也看到固定于#上的式中变慢。

如图6-6a),在¥系上相距为l的两点上有对准了的时钟C1C2,在Σ '系上观察以速度υ运动的时钟C '。设当C '经过C1时,各钟都指着时刻0。当C '经过 C2时,Σ系上的钟都指着时刻l/υ,但Σ上看到C '指着τ < l/υ 。由于τ为固有时, 有
                                                 
3.13
τ < l/υ
说明在Σ系上看到运动时钟C '变慢。

C2l/υ时,C 'τ < l/υ。这时两钟C2C '在同一地点,因而可以直接比较。问题在于,Σ '上看到C2所指得的读数l/υ大于固定在自己参考系上的时钟C '所指的读数τ ,这是否意味着Σ '上看到Σ系上 的时钟变快了呢?答案是否定的,下面说明这一点。

 

 

6-6b)示Σ '上所看到的情况。开始时C 'C1同时指着时刻0。但由于同时的相对性, 原来在Σ系上对准了的时钟 和C1C2系上看来不是对准的。在Σ '上认为C10时,C2δδ可由洛伦兹变换求出。 C2δ 这事件在Σ上的坐标为x = lt = δ ,又洛伦兹变换得
                         
因此
                                                     
3.14

Σ '上看到C2经过C '时,C 'τ C2l/υ,但由于C2时从δ开始,因此Σ '上看到C2所示的经过时间为
                      
Σ '上看到C2同样是变慢的。

在有加速运动情形,时间延缓导致绝对的物理效应。当一个时钟饶闭合路径作加速运动最后返回原地时,它所经历的总时间小于在原地点静止时钟所经历的时间。这效应通常称为双生子佯谬。

设时钟C固定于惯性参考系Σ上,C '相对于Σ作加速度的运动。设在某时刻t 'C '相对于Σ的运动速度为υ(t ')。若C '经历时间dt ',则在Σ上测得的时间为
                           
假设时间延缓效应只依赖于速度而不依赖于加速度,上时就表示该瞬间的时间延缓效应。当C '绕闭合路径一周回到原地时,Σ上测得的总时间为
                    
Δt
C所示的时间,Δt ' C '所示的时间。因此,当时钟C '回到原地直接与C比较时,C '绝对的变慢了。

这效应不是相对的。因为固定在C '上的参考系Σ '不是惯性系,因此不能在Σ '上应用狭义相对论的公式反过来推论Δt < Δt '。在Σ '上 ,应该用广义相对论的理论才能讨论这一问题。这点已超出本课程的范围。可以指出,用广义相对论的坐标变换,在Σ '上同样导出Δt ' < Δt的结果,与上式相符。

在上述μ子实验中,实际上已在微观领域证实了双生子效应。环绕地球的飞行试验也证实了这一效应。在未来的高速宇宙航行中,双生子佯谬将会导致很有趣的结果。

5. 运动尺度的缩短  现代测量长度也采用自然基准。目前使用的基准是:光在真空中于1/299 792 458秒时间间隔内所经路径的长度,定义为1米。在不同参考系上,都可以用这自然尺度来测量长度,这样我们就可以比较不同参考系上测得同一物体的长度。

 

 

现在我们用洛伦兹变换式求运动物体长度于该物体静止长度的关系。如图6-7,设物体沿x轴方向运动,一固定与物体上的参考系为Σ '。若物体后段经过P1点(第一事件)与前端经过P2点(第二事件)相对于Σ同时,则P1 P2定义为Σ当测得的物体长度。

物体两端在Σ '上的坐标设为x1'x2'。在ΣP1点的坐标为x1P2点的坐标为x2,两端分别经过P1P2的时刻为t1 = t2。对这两事件分别应用洛伦兹变化式得
                      
两式相减,计及t1 = t2,有
                                             
3.15
式中x2 − x1Σ上测得的物体长度l(因为坐标x1x2时在Σ上同时测定的),x2'
x1'Σ '上测得的物体静止长度l0。由于物体对Σ '静止,所以对测量时刻t1't2'没有任何限制。由(3.15)式得
                                                  
3.16
即运动物体长度缩短了。和运动式中延缓效应一样,运动尺度缩短也是时空的基本属性,与物体内部结构无关。

长度缩短效应是相对的。以上我们证明了在Σ上观察固定与Σ '上的物体长度缩短了。同样,在Σ '上观察固定与Σ上的物体长度也是缩短的。这时要求在Σ '上同时测定该物体两端的坐标,即要求t1' = t2'。应用反变换式(2.17)得
                                             
3.17
现在x2 − x1为静止长度l0x2'
x1'为运动长度l,应次由上式得
                          
与(3.16)式相符。注意(3.17)与(3.15)式并不矛盾,因为(3.15)式是在条件t1 = t2下成立的,而(3.17)则是在条件t1' = t2',下成立的。

时间延缓与长度缩短是相关的。例如宇宙中含有许多能量极高的μ子,这些μ子是在大气层上部产生的。静止μ子的平均寿命只有2.197×10−6s,如果不是由于相对论效应,这些μ子以接近光速时只能飞跃约660m。但实际上很大部分μ子寿命延长效应。但在固定与μ子的参考系看来,它的寿命并没有延长,而是由于它观察到大气层相对于它作高速运动,因而大气层的厚度缩小了,因此在μ子寿命以内可以飞越大气层。

由以上分析可以看出,时间延缓和长度缩短效应都是运动着的物质相互之间的时空关系的反映,并不是主观感觉的产物。不超过光速运动的粒子在较短的固有寿命中能够飞越大气层,这是客观事实,势离子相对于大气层作高速运动的是龙关系的表现,绝不是主观感觉造成的。在不同参考系中可以由不同的描述方法,但最后的物理结论应该是一致的。

相对论时空观进一步说明了时空是运动着的物质的存在形式。不是先验地存在一个空间的框框和一个时间之流,然后把物质运动纳入气馁,而是在物质运动之中分析和抽象出时空概念。人们对时空的认识是随着时间的逐步深入而发展的。相对论时空观是人们对时空认识的一个飞跃,但它绝不是最终的理论。在广义相对论中,已经对时空提出了某些重要的新概念,如时空弯曲,时空与引力场的关系的等。在微观领域,现有实验证明了相对论在 ~10−16cm范围内仍然适用。随着实践深入到更小的范围,人们对时空的认识还有可能进一步发展。

6. 速度变换公式  由洛伦兹变换式可以推出相对论的速度变换公式,设
                     
为物体相对于Σ的速度。设Σ '相对于Σ沿x轴方向以速度υ运动。用洛伦兹变换式(2.16),
                     
取两式微分,
                      
                     
两式相除得
                                           
3.18a
同样可以求得
                                         
3.18b
                                          
3.18c
3.18)是时相对论速度变换公式。反变换式为
                      
3.19
非相对论极限下(υ << c ,| u | << c)有
                                     
3.20
即过渡到经典速度变换公式

1  证明如物体相对予以参考系的运动速度| u | <,则对任意参考系亦有| u ' | <

   设物体在时间dt内的位移为dx,由间隔不变性有
dx /dt = u , dx ' / dt '= u ' ,  ,得
             
                   
因为u < c ,左边为正数,因此有
                              u ' < c

2  求匀速运动介质中的光速

   设介质沿x轴方向以速度υ运动。选参考系Σ '固定在介质上。在Σ '上观察,介质中的光速沿各方向都等于c / n,其中n为折射率。用(3.19)式的沿介质运动方向的光速
                           
υ << c,有
                                             
3.21
逆介质运动方向传播的光速为
                                    
3.22
沿其他方向传播的光速也可以用类似方法求出。(3.21)和(3.22)式为斐索(Fizeau)水流实验所证实。

 

 

课下作业:教材第290-291页,第2345678题。

2. 设有两根互相平行的尺,在各自静止参考系中的长度为l0,它们以相同的速率υ相对于某一参考系运动,但运动方向相反且平行于尺子。求站在一根尺上测量另一根尺子的长度。

3. 静止长度为l0的车厢,以速度相对于地面运行,车厢的后壁以速度u0向前推出一个小球,求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。

4. 一辆以速度运动的列车上的观察者,在经过一高大建筑物时,看见尖避雷针上跳起一脉冲点火花,电光迅速传播,先后照亮了铁路沿线上的两铁塔,求车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时刻差。设建筑物及两铁塔都在一直线上,与列车前进方向一致。铁塔到建筑物的地面距离已知都是l0

5. 有一光源S与接收器R相对静止,距离为,S-R装置浸在均匀无限的液体介质中(静止直射率为n)中。是对下列三种情况计算光源发出讯号到接收器接到讯号所经历的时间。

1)液体介质相对于S-R装置静止

2)液体沿着S-R连线方向以速度υ流动

3)液体垂直于S-R连线方向以速度υ流动

6. 在坐标系Σ中,有两个物体都以速度υ沿x轴运动,在Σ系看来,它们一直保持距离l不变。今有一观察者以速度υ沿x轴运动,他看到这两个物体的距离是多少?

7. 一把直尺相对于Σ坐标系静止,直尺与x轴交角θ,今有一观察者以速度υ沿x轴运动,他看到直尺与x轴交角θ '有何变化?

8. 两个惯性系’中各放置若干时钟,同一惯性系中的诸时钟问步。’相对以速度v沿x袖方向运动。设两系原点相遇时,t0=t0’=0。问处于系中某点(x,y,z)处的时钟与’系中何处的时钟相遇时,指示的时刻相同?读数是多少?

 

补充题:

1  相对论的时空结构是如何划分的(类光间隔、类时间隔、类空间隔各有什么特点)?

2  试证明具有类空间隔的两个事件的先后次序随惯性系的选择不同而不同,其时间次序的先后或同时,都没有绝对意义。

3  试证明,按狭义相对论理论,运动物体上发生的自然过程比起静止物体的同样过程时间延缓了。物体运动速度愈大,所观察到的它的内部过程进行的愈缓慢。

4  试证明,按狭义相对论理论,当局限于匀速运动时,时间延缓效应是相对的。参考系上看固定于上的时钟变慢;同样,参考系上也看到固定于上的时钟变慢。

5  试证明,按狭义相对论理论,运动物体沿运动方向长度缩短了。

6  试证明,按狭义相对论理论,长度缩短效应是相对的,在上观察固定于上的物体长度缩短了;同样,在上观察固定于上的物体长度也是缩短了的。

7  由洛伦兹变换公式推导出相对论的速度变换公式。并证明,若你站在光子上,看任何物体它都以光速运动。