第5章 电磁波的传播(1)
在迅变情况下,电磁场以波动形式存在。变化着的电场和磁场互相激发,形成在空间中传播的电磁波。由于在广播通讯、光学和其他科学技术中的广泛应用,电磁波的传播、辐射和激发问题已发展为独立的学科,具有十分丰富的内容。本章只介绍关于电磁波传播的最基本的理论,下一章再讨论辐射和激发问题。
平面电磁波是交变电磁场存在的一种最基本的形式,本章先研究无界空间中平面电磁波的主要特性,然后用电磁场边值关系研究电磁波在介质界面上的反射和折射问题,从电磁理论出发导出光学中的反射和折射定律。第三节研究有导体存在时的电磁波传播问题,说明电磁波在导体内有一定的穿透深度,在良导体内只有很小部分电磁能量透入,因而良导体成为电磁波存在的边界。第四节和第五节研究有界空间的电磁波。微波技术中常用的谐振腔,传输线和波导都属于有界空间中的电磁波问题。在这两节中我们以谐振腔和波导威力说明电磁波边值问题的解法。第六节研究在激光技术中有重要应用的电磁波狭窄波束的传播。最后一节讨论等离子体的基本电磁现象。
1. 电磁场波动方程 一般情况下,电磁场的基本方程是麦克斯韦方程组
(1.1)
现在我们研究在没有电荷电流分布的自由空间(或均匀介质)中的电磁场运动形式。在自由空间中,电场和磁场互相激发,电磁场的运动规律是齐次的麦克斯韦方程组( ρ = 0 , J = 0 情形 ):
(1.2)
先讨论真空情形。在真空中,D = ε0 E , B = μ0 H 。取(1.2)第一式的旋度并利用第二式得
(1.3)
用矢量分析公式及▽ · E = 0 得
=
代入(1.3)式得电场E的偏微分方程
(1.4a)
同样,在方程组(1.2)中消去电场,可得磁场B的微分方程
(1.4b)
令
(1.5)
则E和B的方程可以写为
(1.6)
形式如(1.6)的方程称为波动方程,其解包括各种形式的电磁波,c是电磁波在真空中的传播速度。在真空中,一切电磁波(包括各种频率范围的电磁波,如无线电波、光波、X射线和γ射线等)都以速度c传播,c是最基本的物理常量之一。
现在讨论介质情形。研究介质中的电磁波传播问题时,必须给出D和E的关系以及B和H的关系,当以一定角频率ω作正弦振荡的电磁波入射与介质内时,介质内的束缚电荷受电场作用,亦以相同频率作正弦振动。在这频率下介质的极化率χ e(ω)为极化强度 P 与 ε 0 E 之比,由此可得到这频率下的电容率 ε (ω)。在线性介质中有关系
(1.7)
同样,
(1.8)
由介质的微观结构可以推论,对不同频率的电磁波,介质的电容率是不同的,即 ε 和μ是ω 的函数(见第七章§6)
(1.9)
ε 和μ 随频率而变的现象称为介质的色散。由于色散,对一般非正弦变化的电场,关系式 E ( t ) 不成立。因此在介质内D( t )= ε E( t ),不能够推出E和B的一般波动方程[即(1.4)式中把 μ0 ε0 → μ ε的方程]。下面我们只讨论一定频率的电磁波在介质中的传播。
2. 时谐电磁波 在很多实际情况下,电磁波的激发源往往以大致确定的频率作正弦震荡,因而辐射出的电磁波也以相同频率作正弦振荡。例如无线电广播或通讯的载波,激光器辐射出的光束等,都接近于正弦波。这种以一定频率作正弦振荡的波称为时谐电磁波(单色波)。在一般情况下,即使电磁波不是单色波,它也可以用傅里叶(Fourier)分析(频谱分析)方法分解为不同频率的正弦波的叠加。因此, 下面我们只讨论一定频率的电磁波。设角频率为ω , 电磁场对时间的依赖关系 cos ω t ,或用复数形式表为
(1.10)
在上式中,我们用同一个符号E表示抽出的时间因子e−iωt 以后的电场强度,一般不止发生混淆。
现在我们研究时谐情形下的麦氏方程组。在一定频率下,有 D = ε E , B = μ H ,把(1.10)式代入(1.2)式,消去共同因子 e−iωt 后得
(1.11)
先注意一点。在 ω ≠ 0 的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的。取第一式的散度,由于 ▽ · (▽ × E ) = 0 ,因而 ▽ · H = 0 ,即得第四式。同样,由的二式可导出第三式。因此,在一定频率下,只有第一、第二式是独立的,其他两式可由以上两式导出。
取第一式旋度并利用第二式得
(1.12)
由
上式变为
(1.13)
(1.14)
注意(1.13)式只有在加上条件 ▽ · E = 0 以后才相当于(1.12)式,(1.13)式本身的解并不保证满足 ▽ · E = 0 。因此,对(1.13)式的解必须加上条件 ▽ · E = 0 才代表电磁波的解。
解出E后,磁场B 可由(1.11)第一式求出,
(1.15)
方程(1.13)式称为亥姆霍兹方程,是一定频率下电磁波的基本方程,其解E ( x )代表电磁波场强在空间中的分布情况,每一种可能的形式称为一种波模。概括来说,在一定频率下,麦氏方程组化为以下方程
亥姆霍兹方程(1.13)的每一个满足 ▽ · E = 0 的解都代表一种可能存在的波模。
类似地,亦可以把麦质方程组在一定频率下化为
(1.16)
3. 平面电磁波 按照激发和传播条件的不同,电磁波的场强E(x)可以由各种不同形式。例如从广播天线发射出的球面波,沿传输线或波导定向传播的波,由激光器激发的狭窄光束等,其场强都是亥姆霍兹方程(1.13)的解。现在我们讨论一种最基本的解,它是存在于全空间中的平面波。设电磁波沿x轴方向传播,其场强在与x轴正角的平面上个点具有相同的值,即E和B仅与x,t有关,而与y,z无关。这种电磁波称为平面电磁波,其波阵面(等相为点组成的面)为与x轴正交的平面。在这种情形下亥姆霍兹方程化为一维的常微分方程
(1.17)
它的一个解是
(1.18)
由(1.10)式,场强的全表示式为
(1.19)
由条件 ▽ · E = 0 得 i k ex · E = 0 ,即要求 E x = 0,因此,只要 E 0 与x轴垂直,(1.19)式就代表一种可能的模式。式中 E 0 是电场的振幅,e i(k x − ω t) 代表波动的相位因子。
以上为了运算方便采用了复数形式,对于实际存在的场强应理解为只取上式的实数部分,即
(1.20)
现在我们看相位因子 cos( k x − ω t)的意义。在时刻 t = 0,相位因子是cos kx,x = 0的平面处于波峰。在另一时刻t ,相因子变为cos( k x − ω t),波峰移至 k x − ω t = 0处,即移至 x = ω t / k 的平面上。因此,(1.19)式表示一个沿x轴方向传播的平面波,其相速度为
(1.21)
真空中电磁波的传播速度为
(1.22)
介质中电磁波的传播速度为
(1.23)
式中 ε r和 μ r分别代表介质的相对电容率和相对磁导率,由于它们是频率 ω 的函数,因此在介质中不同频率的电磁波有不同的相速度,这就是介质的色散现象。
在(1.19)式中,我们选择了一个特殊坐标系,它是x轴沿电磁传播方向。在一般坐标系下平面电磁波的表示式是
(1.24)
式中k是沿电磁波传播方向的一个矢量,其量值为 | k | = ω(μ ε) 1/2 。在特殊坐标系下,当 k 的方向取为x轴时,有 k · x = k x,因而(1.24)式变为(1.19)式。由图4-1可以看出(1.24)式表示沿k方向传播的平面电磁波。取垂直于矢量k的任一平面S,设P为次平面上的任一点,位矢为x,则 k · x = k x' , x' 为 x 在矢量 k 上的投影,在平面S上任意点的位矢在k上的投影都等于 x' ,因而整个平面S是等相面。因此,式(1.24)标示沿矢量k方向传播的平面波。k 称为波矢量,其量值 k 称为波数。沿电磁波传播方向相距为 Δx = 2π / k 的两点有相位差,因此 2π / k 是电磁波的波长 λ
(1.25)
对(1.24)式必须加上条件 ▽ · E = 0 才得到电磁波解。取(1.24)式的散度
因此
(1.26)
上式表示电场波动是横波,E可在垂直于k的任意方向上振荡。E的取向称为电磁波的偏振方向。可以选与k垂直的任意两个互相正交的方向作为E的两个独立偏振方向。因此,对每一波矢量k,存在两个独立的偏振波。
平面电磁波的磁场可有(1.15)式求出。取(1.24)式的旋度得
代入(1.15)式得
(1.27)
n为传播方向的单位矢量。由上式得 k · B = 0 ,因此磁场波动也是横波。E、B和k是三个各互相正交的矢量。E和B同相,振幅比为
(1.28)
在真空中,平面电磁波的电场与磁场比值为
(1.29)
(用高斯单位制时,此比值为1,即电场与磁场量值相等。)
概括平面波的特性如下:
(1)电磁波为横波,E和B都与传播方向垂直;
(2)E和B互相垂直,E×B沿波矢k方向;
(3)E和B同相,振幅比为 υ 。
平面电磁波沿传播方向各点上的电场和磁场瞬时值如图4-2所示。随着时间的推移,整个波形向x轴方向以速度υ = c / (μr ε r) 1 / 2 移动。
4. 电磁波的能量和能流 由第一章(6.12)式,电磁场的能量密度为
在平面电磁波情形,由(1.28)式有ε E 2 =(1 / μ)∙B 2 ,因此平面电磁波中电场和磁场能量相等,有
(1.30)
把(1.27)式代入第一章(6.8)式,并注意到(1.26)式,得平面电磁波的能流密度
由(1.30)式得
(1.31)
υ 为电磁波在介质中的相速度。
由于能量密度和能流密度是场强的二次式,不能把场强的复数表示直接代入。计算ω和S的瞬时值时,应把实数标示代入,得
ω和S都是随时间迅速脉动的量,实际上我们只需要用到它们的时间平均值。为了以后应用,这里给出二次式求平均值得一般公式。设f(t)和g(t)有复数表示
,
φ是 f(t)和g(t) 的相位差。f g对一周期的平均值为
(1.32)
式中 f * 表示 f 的复共轭,Re标示实数部分。
由此,能量密度和能流密度的平均值为
(1.33)
(1.34)
课下作业:第179-180页,第1,5题。
5. 有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿z轴方向传播。一个波沿x方向偏振,另一个沿y方向偏振,但相位比前者超前π/2,求合成波的偏振。
反之一个圆偏振可以分解为怎样的两个线偏振?
补充题:
1. 证明对时谐电磁波,麦可斯韦方程组不独立。
2. 证明真空中的平面电磁波为TEM波。
3. 证明在理想导体表面,电力线与界面正交,磁感应线与界面相切。
4. 根据麦可斯韦方程组推导时谐电磁波的电场量E的亥姆霍兹方程及E与B之间的关系。
5. 根据麦可斯韦方程组推导时谐电磁波的磁场量B的亥姆霍兹方程及E与B之间的关系。