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圆电流磁场的一般解及讨论 

物院2002  戴鹏  021001063 

圆电流磁场的计算是电磁场教学中的一个典型例题。在普通物理中应用安培环路定律只能够计算圆环轴线上的磁场分布;在电动力学中虽然可用计算磁场的一般分布,但因椭圆积分的约制往往仅涉及“近轴区、近面区和远区”。曾有作者撰文讨论圆电流磁场,给出了所在平面的一般分布。本文避开繁杂的椭圆积分,应用“毕奥-萨伐尔定律”直接计算了园电流的磁场分布,并结合上述情况进行了讨论。

圆环半径为a,电流为I,由毕奥-萨伐尔定律,圆电流在场点p(x,y,z)的磁感应强度为

            (1)

可有下列关系

     (2)

式中是在球坐标系中j角增加方向上的单位矢量。由(2)式得

                     (3)

另外

 (4)

 

(4)式相应作级数展开,得

(5)

(5)(3)式代入(1)式,得

(6)

(6)即为园电流磁场在空间任意场点的级数解。

 

讨论:

(1).若把x=y=0 代入(5)(6)两式,那么(5)式仅剩“第零级”展开项;而(6)式则相应变为

              (7)

(2).z=0代入(7)式,得

   (8)

(3).(8)式不难看出,如考虑远区(R.>>a)、近轴区、近面区(即“电流所在平面”,以下相同)情况,则(5)式可略去高次项,(6)式则相应保留到级数第一级展开即

              (9)

(9)式结果用如下关系代换

就得到三个球坐标分量式

 

把它们合在一起可得

              (10)

这正是用矢势方法计算的结果。如再给(10)式代入远区条件,则变为

                      (11)

它正是圆电流远区磁场的结论。

 (4).从上述讨论可知,仅取(6)式级数的第一项为圆电流轴线上的磁场分布;仅取到第二项则为远区、近轴区、近面区的磁场分布;其它区域的场分布借助计算机也可以从(6)式获得。

参考文献和注释:

(1).郭硕鸿:《电动力学》人民教育出版社,1979年版,p90

(2).赵凯华,陈熙谋:《电磁学》人民教育出版社,1978年版,p283

(3).彭中汉:《大学物理》北京,1983年,第 p11