工程流体力学【新】
适用课程: 流体力学Ⅰ(0182000110),流体力学Ⅱ(0182000210),流体力学Ⅲ(0182000310),流体力学Ⅳ(0182000410),工程流体力学(18009000),工程流体力学(18009001),流体力学(18027000),优秀课程(2012)【访问量:1595823】

【3-1】已知平面流动的速度分布为 

  

试计算点(0,1)处的加速度。 

【解】先将极坐标的速度分量换算成直角坐标的速度,然后再求直角坐标中的加速度。 

 

 


 , , 代入,得 

              

所以有: 

       

在点(0,1)处, 

            , 

               

           

算得 

  

【3-2】验证下列速度分布满足不可压缩流体的连续性方程: 

(1)
       

(2)
       ,

(3)
       ,  

【解】:

(1)
       , , 

(2)
       

           


  (3) 从速度分布的表达式看出,用极坐标比较方便。当然,使用直角坐标也可以进行有关计算,但求导过程较为复杂。 

              

                

            

            

 【3-3】已知平面流场的速度分布为 

     ,    试求t=1时经过坐标原点的流线方程。 

【解】对于固定时刻to,流线的微分方程为 

 

积分得 

        

 

这就是时刻to的流线方程的一般形式。 

根据题意,to=1时,x=0,y=0,因此C=2 

【3-4】如图所示的装置测量油管中某点的速度。已知油的密度为ρ=800kg/m3,水银密度为ρ’=13600 kg/m3,水银压差计的读数Δh=60mm,求该点的流速u。 

【解】我们分析管流中的一条流至测压管管口的流线,即如图中的流线1-0。这条流线从上游远处到达“L”形管口后发生弯曲,然后绕过管口,沿管壁面延伸至下游。流体沿这条流线运动时,速度是发生变化的。在管口上游远处,流速为u。当流体靠近管口时,流速逐渐变小,在管口处的点0,速度变为0,压强为po,流体在管口的速度虽然变化为0,但流体质点并不是停止不动,在压差作用下,流体从点0开始作加速运动,速度逐渐增大,绕过管口之后,速度逐渐加大至u。 

综上分析,可以看到,流体沿流线运动,在点1,速度为u,压强为p,在点0,速度为0,压强为po,忽略重力影响,沿流线的伯努利方程是 

 

由此可见,只要测出压差为po-p,就可以求出速度u。 

不妨设压差计的右侧水银面与流线的高差为l。由于流线平直,其曲率半径很大,属缓变流,沿管截面压强的变化服从静压公式,因此, 

            

 

 

 

式中,ρ和ρˊ分别是油和水银的密度。将已知数据代入计算,Δh的单位应该是用m表示,Δh=0.06m,得速度为u=4.3391m/s。 

 【3-5】矿山排风管将井下废气派入大气。为了测量排风的流量,在排风管出口处装有一个收缩、扩张的管嘴,其喉部处装有一个细管,下端插入水中,如图所示。喉部流速大,压强低,细管中出现一段水柱。已知空气密度ρ=1.25kg/m3,管径d1=400mm,d2=600mm,水柱h=45mm,试计算体积流量Q。 

【解】截面1-1的管径小,速度大,压强低;截面2-2接触大气,可应用伯努利方程,即 

                

 

利用连续方程,由上式得 

 

此外细管有液柱上升,说明p1低于大气压,即 

 

式中,ρˊ是水的密度,因此 

 

由d1=400mm,d2=600mm 可以求出A1和A2,而ρ、ρˊ、h皆已知,可算得 

 

           

3-6】如图所示,水池的水位高h=4m,池壁开有一小孔,孔口到水面高差为y,如果从孔口射出的水流到达地面的水平距离x=2m,求y的值。如果要使水柱射出的水平距离最远,则x和y应为多少? 

【解】孔口的出流速度为 

 

流体离开孔口时,速度是沿水平方向的,但在重力作用下会产生铅直向下的运动,设流体质点从孔口降至地面所需的时间为t,则 

        

          

消去t,得 

 ,即      

解得 

 

如果要使水柱射出最远,则因为 

 

x是y的函数,当x达到极大值时,dx/dy=0,上式两边对y求导,得 

3-7】如图所示消防水枪的水管直径d1=0.12m,喷嘴出口直径d2=0.04m,消防人员持此水枪向距离为l=12m,高h=15m的窗口喷水,要求水流到达窗口时具有V3=10m/s的速度,试求水管的相对压强和水枪倾角θ。 

【解】解题思路:已知V3利用截面2-2和3-3的伯努利方程就可以求出V2。而利用截面1-1和2-2的伯努利方程可以求出水管的相对压强p1-pa。水流离开截面2-2以后可以视作斜抛运动,利用有关公式就可以求出倾角θ。 

对水射流的截面2-2和截面3-3,压强相同, 

         

 

hV3代入得V219.8540m/s           

对于喷嘴内的水流截面11和截面22,有 

 

式中,p2pa。利用连续方程,则有 

 

喷嘴出口水流的水平速度和铅直速度分别是V2cosθ和V2sinθ,利用斜抛物体运动公式,不难得到上抛高度h和平抛距离l的计算公式分别为 

 

 

消去时间t得到 

 

代入数据,又 

 

上式化为 

 

                    

38】如图所示,一个水平放置的水管在某处出现θ=30o的转弯,管径也从d10.3m渐变为d20.2m,当流量为Q0.1m3/s时,测得大口径管段中心的表压为2.94×104Pa,试求为了固定弯管所需的外力。 

【解】用pˊ表示表压,即相对压强,根据题意,图示的截面11的表压p1ˊ=p1pa2.94×104Pa,截面22的表压p2ˊ可根据伯努利方程求出。而固定弯管所需的外力,则可以利用总流的动量方程求出。 

取如图所示的控制体,截面1-1和2-2的平均流速分别为 

         

弯管水平放置,两截面高程相同,故 

                         

总流的动量方程是 

                         

由于弯管水平放置,因此我们只求水平面上的力。对于图示的控制体,xy方向的动量方程是 

       

      

代入数据,得 

          

39】宽度B1的平板闸门开启时,上游水位h12m,下游水位h20.8m,试求固定闸门所需的水平力F 
【解】应用动量方程解本题,取如图所示的控制体,其中截面11应在闸门上游足够远处,以保证该处流线平直,流线的曲率半径足够大,该截面上的压强分布服从静压公式。而下游的截面22应选在最小过流截面上。由于这两个截面都处在缓变流中,总压力可按平板静水压力计算。控制体的截面11上的总压力为1/2ρgh1Bh,它是左方水体作用在控制面11上的力,方向从左到右。同样地,在控制面22上地总压力为1/2ρgh2Bh2,它是右方水体作用在控制面22上的力,方向从右到左。另外,设固定平板所需的外力是F,分析控制体的外力时,可以看到平板对控制体的作用力的大小就是F,方向从右向左。 

考虑动量方程的水平投影式: 

 

    流速和流量可根据连续性方程和伯努利方程求出: 

             

            
由以上两式得 
         ;   

将已知数据代入动量方程,得 

 

我们还可以推导F的一般表达式。 

 

上面已经由连续方程和伯努利方程求出速度V2,因而 

 

将此式代入动量方程得 

 

 

 【3-10】如图所示,从固定喷嘴流出一股射流,其直径为d,速度为V此射流冲击一个运动叶片,在叶片上流速方向转角为θ,如果叶片运动的速度为u,试求: 

(1)    叶片所受的冲击力; 

(2)    水流对叶片所作的功率; 

(3)    u取什么值时,水流作功最大? 

【解】射流离开喷嘴时,速度为V,截面积为A=Πd2/4,当射流冲入叶片时,水流相对于叶片的速度为Vu,显然,水流离开叶片的相对速度也是Vu。而射流截面积仍为A。采用固结在叶片上的动坐标,在此动坐标上观察到的水流运动是定常的,设叶片给水流的力如图所示,由动量方程得 

                                      

          

  

叶片仅在水平方向有位移, 水流对叶片所作功率为: 

           

V固定时,功率Pu的函数。令 
              

因此,当uV/3时,水流对叶片所作的功率达到极大值。 

3-11】如图所示,两股速度大小同为V的水射流汇合后成伞状体散开,设两股射流的直径分别为d1d2,试求散开角θ与d1d2的关系。如果d2 =0.7d1,θ是多少度?不计重力作用。
【解】射流暴露在大气中,不考虑重力影响,根据伯努利方程,各射流截面的流速相等。
汇合流是一个轴对称的伞状体,其截面积逐渐减小,但汇合流量总是不变的,它等于两个射流量QQ2之和。                
作用在水体上的外力和为零,根据动量方程, 可以求出张角θ与d1d2的关系。 

                       

                
d2 =0.7d1时, cosθ=0.3423,θ=70o 

 【3-12】如图所示,气体混合室进口高度为2B,出口高度为2b,进、出口气压都等于大气压,进口的速度 u0和2 u0各占高度为B,出口速度分布为 

 

气体密度为ρ,试求气流给混合室壁面的作用力。

   

【解】利用连续性方程求出口轴线上的速度um: 

 

 

用动量方程求合力F: 

【3-13】如图所示,旋转式洒水器两臂长度不等,l1=1.2m,l2=1.5m,若喷口直径d=25mm,每个喷口的水流量为Q=3×10-3m3/s,不计摩擦力矩,求转速。 

【解】水流的绝对速度等于相对速度及牵连速度的矢量和。本题中,相对速度和牵连速度反向,都与转臂垂直。 

设两个喷嘴水流的绝对速度为V1V2,则 

      

根据动量矩方程,有 

 

 

 

V1V2代入上式,得 

 

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