工程流体力学【新】
适用课程: 流体力学Ⅰ(0182000110),流体力学Ⅱ(0182000210),流体力学Ⅲ(0182000310),流体力学Ⅳ(0182000410),工程流体力学(18009000),工程流体力学(18009001),流体力学(18027000),优秀课程(2012)【访问量:2157052】

71】已知平面流动的速度分布ux22x4yv=-2xy2y。试确定流动:(1)是否满足连续性方程;(2)是否有旋;(3)如存在速度势和流函数,求出它们。
【解】:
1
      ,连续性方程得到满足。
2
      ,流动有旋。
3)此流场为不可压缩流体的有旋运动,流函数 存在,速度势不存在。
     
     
因为
   
所以
       
   
注意:复位势Wz不存在。 

72】已知平面流动的流函数 

 

求势函数,并证明速度大小与点的矢径r的平方成正比。 

【解】: 

  

 

 

 

因为: 

 

所以: 

    

 

73】已知复位势为 

                     

(1) 分析流动由哪些基本势流组成; 

(2) 圆周x2y22上的速度环量Г和流量Q 

【解】: (1) 

   

    对比点源(汇),点涡,偶极子的复势,可以看出此流动由下列简单势流叠加而成: 

位于原点的偶极子,其强度M2π,方向角(由点汇指向点源)β=π; 

    在点(0,1)和点(0,-1)各有一个点源和点涡,点源强度Q1=2π,点涡强度Г1=2π,方向为顺时针方向; 

    在点(0,2)和点(0,-2)各有一个点源和点涡,点源强度Q2=4π,点涡强 

度Г2=6π,方向为逆时针方向。 

(2)  圆周x2y22内部区域有两个同向涡点(强度为Г1),还有两个点源(强度为Q1),因此在圆周x2y22上的速度环量和流量分别为 

         

74】势流由一个速度为V,方向与x轴正向一致的均匀流和一个位于坐标原点的强度为Q的电源叠加而成,试求经过驻点的流线方程,并绘出该流线的大致形状。 

【解】:
           
驻点就是速度为零的点,令
       

     
可见,驻点的位置为
           
经过驻点的流线为
         
当θ=π/2 时,                   

 

当θ=0时, 

 

流线形状如图所示。 

75】求如图所示的势流的流函数以及经过驻点的流线方程。已知:V=5,Q=20π,a=2。 

【解】:
    

 

令:
     ,则 

      
下面求驻点位置:
      

 所以 

 

     ,即     

   

x=-2y0(驻点)时,θ1=π+π/4,θ2=π-π/4,过驻点流线方程为 

      

76】已知平面流场的速度分布为u=-xyvy,试问(1)流场是否有旋?(2)沿如图所示的曲线ABCD 的速度环量Г时多少? 

【解】:                   

          

可见,流场内处处有旋,涡量为常数。使用 

斯托克斯定理,可以使曲线ABCD的速度环量的计算变得简单 

 

当然也可以由速度的线积分直接计算Г。速度为线性分布,矩形每条边的平均速度等于两端点的速度之和的一半,故 

Г=-1×21/2×1-(-2)×41/2×1

答案虽然一样,但计算要复杂得多。 

77】已知速度分布为 

     

试证流线和涡线平行,并求涡量与速度之间的数量关系,式中kC为常数。 

【解】: 

   

 

涡线方程为 

        

可以看出,涡线方程与流线方程完全相同。 

 

 

78】设不可压缩流体平面运动的流线方程在极坐标下的形式是θ=θ(r),速度只是r的函数,试证涡量为 

 

【解】:不可压缩流体运动的连续性方程为 

 

由于速度与θ无关,上式左边第二项为零,因此 

   

流线的方程式为 

   

涡量的表达式是 

 

上式右边的第二项为零,因此 

 

79】已知速度场为 

    

 所围的正方形的速度环量。 

【解】: 

 

根据斯托克斯定理有 

 

710】已知速度场u2yv3x,求椭圆4x2+9y2=36周线上的速度环量。 

【解】:椭圆方程可写为 

 

其长、短轴分别为a3b2 

 

根据斯托克斯定理,有 

 

711】在平面上有三个强度和方向相同的点涡,位置如图所示。试求各个点涡的运动速度。 

【解】: 

      

 

位于点(30)处的点涡的运动速度为 

 

   

位于点(-30)处的点涡的运动速度为 

         

位于点(03)处的点涡的运动速度为 

           

712】横截面是一个边长为 (高为  )的如图所示的等边三角形的柱体内部充满理想不可压缩的均质流体,柱体和其内的流体原先都是静止的,当柱体绕中心轴线以角速度ω作等角速度旋转时,求流体对于三角形柱体的相对运动速度,并确定相对于柱体的流线形状。 

【解】:建立如图所示的坐标系,其中等边三角形的高与x轴重合,三条边的方程为 

          

设流函数为 

 

C为待定系数,显然,在边界上 

 

流体的旋转角速度为-2ω,即 

 

用流函数表示上式,有 

 

再将  的表达式代入上式,有 

   

 

  

流线的一般方程为 

     

713】在理想不可压缩流体的无界流场中有一对点涡如图所示,无穷远处有一股均匀流V恰好使这对点涡静止不动,试求V与Γ的关系。 

【解】: 

    

       

位于(0b)的点涡的运动速度为 

 

   

若使点涡静止,必有 

 

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