【7-1】已知平面流动的速度分布u=x2+2x-4y,v=-2xy-2y。试确定流动:(1)是否满足连续性方程;(2)是否有旋;(3)如存在速度势和流函数,求出它们。
【解】:
(1)
,连续性方程得到满足。
(2)
,流动有旋。
(3)此流场为不可压缩流体的有旋运动,流函数 存在,速度势不存在。
因为
所以
; ,
注意:复位势W(z)不存在。
【7-2】已知平面流动的流函数
求势函数,并证明速度大小与点的矢径r的平方成正比。
【解】:
,
因为:
所以:
;
【7-3】已知复位势为
(1) 分析流动由哪些基本势流组成;
(2) 圆周x2+y2=2上的速度环量Г和流量Q。
【解】: (1)
对比点源(汇),点涡,偶极子的复势,可以看出此流动由下列简单势流叠加而成:
位于原点的偶极子,其强度M=2π,方向角(由点汇指向点源)β=π;
在点(0,1)和点(0,-1)各有一个点源和点涡,点源强度Q1=2π,点涡强度Г1=2π,方向为顺时针方向;
在点(0,2)和点(0,-2)各有一个点源和点涡,点源强度Q2=4π,点涡强
度Г2=6π,方向为逆时针方向。
(2) 圆周x2+y2=2内部区域有两个同向涡点(强度为Г1),还有两个点源(强度为Q1),因此在圆周x2+y2=2上的速度环量和流量分别为
;
【7-4】势流由一个速度为V∞,方向与x轴正向一致的均匀流和一个位于坐标原点的强度为Q的电源叠加而成,试求经过驻点的流线方程,并绘出该流线的大致形状。
【解】:
驻点就是速度为零的点,令
得
可见,驻点的位置为
, 或 ,
经过驻点的流线为
当θ=π/2 时,
当θ=0时,
流线形状如图所示。
【7-5】求如图所示的势流的流函数以及经过驻点的流线方程。已知:V∞=5,Q=20π,a=2。
【解】:
令:
, ,则
下面求驻点位置:
所以
,即
,
当x=-2,y=0(驻点)时,θ1=π+π/4,θ2=π-π/4,过驻点流线方程为
【7-6】已知平面流场的速度分布为u=-x-y,v=y,试问(1)流场是否有旋?(2)沿如图所示的曲线ABCD 的速度环量Г时多少?
【解】:
可见,流场内处处有旋,涡量为常数。使用
斯托克斯定理,可以使曲线ABCD的速度环量的计算变得简单
当然也可以由速度的线积分直接计算Г。速度为线性分布,矩形每条边的平均速度等于两端点的速度之和的一半,故
Г=-1×2+1/2×1-(-2)×4-1/2×1=2
答案虽然一样,但计算要复杂得多。
【7-7】已知速度分布为
, ,
试证流线和涡线平行,并求涡量与速度之间的数量关系,式中k,C为常数。
【解】:
;
涡线方程为
可以看出,涡线方程与流线方程完全相同。
【7-8】设不可压缩流体平面运动的流线方程在极坐标下的形式是θ=θ(r),速度只是r的函数,试证涡量为
【解】:不可压缩流体运动的连续性方程为
由于速度与θ无关,上式左边第二项为零,因此
流线的方程式为
,
涡量的表达式是
上式右边的第二项为零,因此
【7-9】已知速度场为
求 所围的正方形的速度环量。
【解】:
根据斯托克斯定理有
【7-10】已知速度场u=2y,v=3x,求椭圆4x2+9y2=36周线上的速度环量。
【解】:椭圆方程可写为
其长、短轴分别为a=3,b=2,
根据斯托克斯定理,有
【7-11】在平面上有三个强度和方向相同的点涡,位置如图所示。试求各个点涡的运动速度。
【解】:
位于点(3,0)处的点涡的运动速度为
,
位于点(-3,0)处的点涡的运动速度为
,
位于点(0,3)处的点涡的运动速度为
,
【7-12】横截面是一个边长为 (高为 )的如图所示的等边三角形的柱体内部充满理想不可压缩的均质流体,柱体和其内的流体原先都是静止的,当柱体绕中心轴线以角速度ω作等角速度旋转时,求流体对于三角形柱体的相对运动速度,并确定相对于柱体的流线形状。
【解】:建立如图所示的坐标系,其中等边三角形的高与x轴重合,三条边的方程为
; ;
设流函数为
C为待定系数,显然,在边界上
流体的旋转角速度为-2ω,即
用流函数表示上式,有
再将 的表达式代入上式,有
; ;
;
流线的一般方程为
【7-13】在理想不可压缩流体的无界流场中有一对点涡如图所示,无穷远处有一股均匀流V∞恰好使这对点涡静止不动,试求V∞与Γ的关系。
【解】:
位于(0,b)的点涡的运动速度为
,
若使点涡静止,必有