工程流体力学【新】
适用课程: 流体力学Ⅰ(0182000110),流体力学Ⅱ(0182000210),流体力学Ⅲ(0182000310),流体力学Ⅳ(0182000410),工程流体力学(18009000),工程流体力学(18009001),流体力学(18027000),优秀课程(2012)【访问量:1568814】

系统 控制体 输运公式

  所谓系统就是一群流体质点的集合。流体系统在运动过程中尽管形状在不停地发生变化,但始终包含有相同的流体质点,有确定的质量。控制体是为了研究问题方便起见所取的特定空间区域。一经选定,相对一定的坐标系,其位置和形状不再变化。

  为了推导输运公式,选定图(a)所示的系统和控制体。控制体为球形,其边界用实线标示,选取t时刻控制体内的流体为要研究的流体系统,系统的边界和控制体的边界重合,其边界线用虚线标示。在 时刻,控制体的形状和位置没有发生变化,但是由于流体的运动,系统的位置和形状均发生了变化,图(b)中的虚线标示出的区域为 时刻流体系统新的位置。

系统和控制体

  设N为流体系统在t时刻所具有的某种物理量(如质量、动量和能量等)的总量,h表示单位质量流体所具有的这种物理量。则 。系统在t时刻的体积为Ⅱ所具有的体积,并与所选定的控制体相重合。在 时刻,流体系统运动到新的位置,其体积为Ⅱ 和Ⅲ所占有的体积,Ⅱ 是系统在 时刻和t时刻所占位置的重合部分。t时刻流体系统所具有的某种物理量N对时间的变化率为:

 (a)

  式中  为系统在 时刻的体积, 为系统在t时刻的体积。由图3-9可以看出,系统在 时刻的体积 是Ⅱ 和Ⅲ所占据的部分,t时刻的体积 是Ⅰ和Ⅱ 所占据的部分。所以(a)式可以写成下述形式:

  (b)

  因为,在  时,Ⅱ Ⅱ,Ⅲ  ,即在t时刻系统和控制体重合,若用 表示控制体的体积,则有 ,所以(b)式右端第一项可以化简为:

         (c)

(c)式表示在同一地点上系统内的某种物理量随时间的变化率,相当于(3-5)式中的当地导数项,是由流场的非稳定性引起的。

(b)式中的体积分 是系统在 时间内通过控制体的表面流出的流体所携带的物理量,因此,可以用在同样的时间内通过控制体的表面流出的这种物理量的积分来表示这个积分。所以在单位时间内通过控制体的表面流出的物理量为:

      (d)

  式中 为是控制体表面上的出流面积, 为出流速度 与微元面积 法线方向 的夹角, 为速度 在微元面积 法线方向的投影, 为以微元面积 的大小为模的 方向上的矢量。

  同理图中Ⅰ上的积分可以用通过控制体的表面流入的物理量表示,所以单位时间内通过控制体的表面流入的物理量为:

   (e)

(e)式中的负号是因为流入面上的速度 的方向和流入面的外法线方向的夹角大于90 , 为负值的缘故。式中 为流入面的面积。

将(c)、(d)和(e)式代入(b)式,并考虑到整个控制体的面积 ,则    (3-10)

或者     (3-10a)

  上式即为流体系统内某种物理量N随时间的变化率,称为随体导数或者输运公式。就是将拉格朗日法中,求某种物理量的变化率转化为欧拉法的计算公式,是欧拉法中的控制体法的基本公式。该式表明,流体系统内部的某种物理量N的时间变化率由两部分组成,一部分是由于流场的非稳定性引起的控制体内N的变化率,相当于(3-5)中的当地导数项,另一部分是流体系统通过控制体表面的净通量,是流场的非均匀性引起的,相当于(3-5)式的迁移导数项。物理量N可以是标量,如质量、能量等,也可以是矢量,如动量和动量矩等。

在定常流动中,流场中的所有物理量不随时间发生变化,所以控制体内的物理量的变化率为零,即 ,此时,系统内部物理量N的变化率为:

  (3-11)

或者  (3-11a)

  由上式可知,在定常流动中流体系统某种物理量的变化率,仅和流出、流入控制体的流动情况有关,和控制体内部发生的变化无关。

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