一、惯性坐标系中的动量方程和动量矩方程

　　1．动量方程

　　流体系统可以看成由众多流体质点组成的质点系，由质点系的动量定理可知，作用于流体系统上的所有外力之和等于系统内流体动量的变化率。

　　作用于流体系统上的力有两类，一类是质量力，一类是表面力。质量力可表示为  ，表面力可表示为， 为作用在外法线方向为 的微元面积 上的应力。根据动量定理则有

　 　　　(3－17)

　　式（3－17）即为惯性坐标系中积分形式的动量方程。

　　对于定常流动，系统内的动量不随时间变化，于是有：

　　　　 　　　　（3－18） 

　　将式（3－18）应用于定常管流时，得到定常管流的动量方程：

　　　　　　(3－19)

　　要将（3－19）应用于某一具体管流，有效截面上的动量通量计算式可以表示成以下形式：

　　 　　(3－20)

　　其中动量修正系数的定义式为：

　　　 　　（3－20a）

　　通常情况下取 。将式（3－30）代入（3－29）式，并将方程整理成投影的形式，则有　

　　　　　 　　(3－21)

　　上式即为定常管流投影形式的动量方程，常用来求解动水反力问题。

　　2．动量矩方程

　　将质点系的动量矩定理应用于流体系统，可导出积分形式的动量矩方程。

　　用 表示单位质量流体的动量矩，则整个系统内流体的动量矩为 ，由输运公式（3－20）可知：

　　　 　　(3－22)

　　由质点系的动量矩定理，流体系统内流体动量矩的时间变化率等于作用在系统上的所有外力矩的矢量和，所以有：

　　　 　　(3－23)

　　该式为惯性坐标系中积分形式的动量矩方程，在定常流动的条件下，控制体内流体动量矩不随时间变化，所以左端第一项为零，于是有：

　　　　　　 　　　　　　　　(3－24)

　　3．叶轮机械的基本方程 

　　应用定常流动的动量矩方程（3－24）式，可以导出常用的涡轮机械的基本方程。用 表示所有外力矩的矢量和，动量矩方程可以表示成以下形式：

　　　　(3－25)

　　图为离心式水泵或风机叶轮内的速度矢量分解图

　　取图中虚线包容的体积为控制体，有

　　流体经过控制体表面的净通量为：

　　将以上结果代入（3－35），得

　　　　　　　　　　　　 　　　　　　（3－26）

　　该力矩单位时间对流体作的功为

　　　　　　　　　　　 　　　　(3－27)

　　单位重量流体通过叶轮所获得的能量为：

　　　　　　　(3－28)

　　上式即为涡轮机械基本方程。

　　二、旋转坐标系中的动量方程和动量矩方程

　　若相对坐标系绕垂直轴以等角速度 旋转，根据力学中相对运动的理论知，运动质点的绝对加速度 一般要包含相对加速度 、牵连加速度 和哥氏加速度 三个分量，可分别表示成以下形式

　　　　　 ； ； 

　　其中 为相对速度。

　　此时流体质点的绝对加速度可以表示为：

　　　　　　　 　　(a)

　　　　　　　　　　　　(3－29a)

　　上式即为饶垂直轴以等角速度旋转的非惯性坐标系中的动量方程，和惯性坐标系中的动量方程比较可以看出，两者除使用的速度不同外，非惯性坐标系中的动量方程还增加了惯性项。

用同样的方法可以推导出上述坐标系中的动量矩方程如下：

　　　　　　　　　　＝

 　(3－30)

　　因为在惯性坐标系中，系统动量的变化率可以表示为：

　　　　　　　　　　(b)

　　将式(a)、(b)代入式(3－27)，并注意到物理量的体积积分不论在惯性坐标系中还是在非惯性坐标系中将保持不变，整理后可得

　　　（3－31）